Ертеде, таулар мен өзендері көз тартатын, кең далада, Хан Асқар мен оның сұлу қызы Айгүл өмір сүріпті. Хан Асқар, үстіне сәукелесі желбіреген қызын еркелетіп, оған елдің игілігі – «Математика қазынасының» кілтін аманат етіпті. Бұл қазына – дұрыс бөлінген бірліктердің жиынтығы екен. Айгүлдің жүрегі қуанышқа толы, өйткені ол әкесінің сенімін ақтауға дайын болатын. Ол әрқашан білімге құмар, әрбір жаңа нәрсені үйренуге асық қыз еді.
Хан сарайының бақшасында керемет бір алма ағашы өсіп тұр екен. Оның бұтақтары қып-қызыл, шырынды алмаларға толы болатын. Бір күні Хан Асқар қызы Айгүлге қарап: «Қызым, біздің дастарханға піскен алманың 1/8 бөлігін ал, ал сенің інің – батыр Таймас – даладан келгенде оған да 3/8 бөлігін салып қой» деді. Айгүл әкесінің тапсырмасын мұқият тыңдап, алма ағашына қарай беттеді. Ол алманы тең сегіз бөлікке бөліп, бір бөлігін дастарханға қойды. Содан кейін, Таймасқа арнап тағы үш бөлігін бөліп қойды. Ол ойланып қалды: «Екеуміз алманың қанша бөлігін алдық екен?»
Дәл осы кезде, ақ сақалды, ұзын шапанды Данагөй Ата пайда болды. Ол Айгүлдің ойын оқығандай: «Қарағым, сендердің 'Математика қазынасы' кілтін қолдануына көмектесемін» деді. Данагөй Атаның көздері мейірімге толы, дауысы сабырлы еді. Ол Айгүлге жақындап, оның қолындағы алма бөліктеріне қарады. «Есіңде болсын, Айгүл! Сендер алманың бөлшектерін қосқанда, сол алманың тең бөліктерінің санын, яғни БӨЛІМДЕРІН, ешқашан өзгертпеңдер. Ол сендердің бірлігіңнің белгісі!»
Данагөй Ата сөзін жалғастырды: «Бөлімдері бірдей бөлшектерді қосу үшін, алымдарын қосып, алым етіп жазамыз, ал бөлімін сол күйінде қалдырамыз. Мысалы, сен алған 1/8 бөлік пен Таймасқа арналған 3/8 бөлікті қоссақ, біз (1+3)/8 = 4/8 аламыз. Яғни, сендер екеуің алманың 4/8 бөлігін алдыңдар. Көрдің бе, бөлім өзгерген жоқ, тек алымдар қосылды!» Айгүл таңданысын жасыра алмады. Бұл өте қарапайым әрі түсінікті еді. Ол бөлшектерді қосудың сырын түсінгендей болды.
Содан соң, Хан Асқар сарайдағы бүкіл қазынаның (8/8 бөлігінің) 4/8 бөлігін жұмсады делік. Данагөй Ата Таймас батырға қарап: «Батырым, егер бөлінген тең бөліктерді алып тастасаң да, бөліктің мөлшері өзгермейді ғой!» деді. Таймас батыр, жаңа ғана даладан оралған, сауыт-сайманымен тұрған еді. Ол Данагөй Атаның сөзіне құлақ түрді. «Бөлімдері бірдей бөлшектерді азайту үшін, азайғыштың алымынан азайтқыштың алымын азайтып, алым етіп жазамыз, ал бөлімін сол күйінде қалдырамыз. Мысалы, егер бізде 8/8 қазына болса және одан 4/8 бөлігін жұмсасақ, онда (8-4)/8 = 4/8 қазына қалады. Бұл да өте қарапайым, емес пе?»
Данагөй Ата: «Міне, балалар, 'Бөлімдер' – бұл сендердің Отанының бірлігі, ол өзгермейді. 'Алымдар' – бұл сендердің іс-әрекеттерің, ол қосылып немесе азайып отырады. Бұл – Математика қазынасының басты кілті! Енді сендер бөлшектерді қосу мен азайтудың негізгі ережелерін білесіңдер. Бірақ бұл қазынаның тек бір бөлігі ғана. Алда әлі көптеген қызықты ашылулар күтіп тұр!» Айгүл мен Таймас бір-біріне қарап күлімсіреді. Олар математиканың қаншалықты қызықты әрі маңызды екенін түсіне бастады. Бұл білім оларға болашақта көп көмектесетінін сезді. Олардың алдында әлі қандай сынақтар күтіп тұр екен?

Данагөй Атаның даналығы Айгүл мен Таймасты таңғалдырды. Олар бөлшектердің сиқырын енді ғана түсіне бастағандай еді. «Жарайсыңдар, балаларым!» деді Данагөй Ата жымиып. «Бұл – Математика қазынасының тек бірінші кілті ғана. Алда әлі талай қызықты ашылулар күтіп тұр!»
Келесі күні, таңертеңгілік күн сәулесі сарайдың терезесінен түскенде, Данагөй Ата Айгүл мен Таймасты сарайдың ең үлкен кітапханасына шақырды. Ол жерде ескі кітаптар мен түрлі аспаптар толы еді. «Бүгін біз бөлшектерді көбейту және бөлу туралы сөйлесетін боламыз», – деді Данагөй Ата, үлкен бір кітапты ашып. – «Бұл да өте маңызды, әрі қызықты!»
Айгүл қызықтана: «Ата, бөлшектерді қалай көбейтеміз? Олардың бөлімдері әртүрлі болса ше?» – деп сұрады. Данагөй Ата күлімсіреп: «Өте жақсы сұрақ, Айгүл! Есіңде болсын, бөлшектерді көбейту кезінде бөлімдердің бірдей болуы маңызды емес. Бұл жерде ереже өзгеше.»

Ереже 3: Бөлшектерді көбейту үшін, алымын алымына, бөлімін бөліміне көбейтеміз.

«Мысалы, егер сенде алманың 1/2 бөлігі болса, және сен оның 1/3 бөлігін алғың келсе, не істейсің?» – деді Данагөй Ата. Таймас батыр ойланып: «Яғни, 1/2 * 1/3 = (1*1)/(2*3) = 1/6 болады ма?» – деп сұрады. Данагөй Ата басын изеп: «Дәл солай, Таймас! Сен өте зерексің. Бұл жерде біз алманың жартысының үштен бір бөлігін аламыз, ол бүтін алманың алтыдан бір бөлігіне тең болады.»

Ғылыми факт: Бөлшектерді көбейту – бұл бір санның белгілі бір бөлігін табудың математикалық тәсілі. Мысалы, 1/2 * 1/3 дегеніміз – жартының үштен бір бөлігін табу.

«Ал енді, ең қызықтысы – бөлшектерді бөлу!» – деді Данагөй Ата, көздері жарқырап. – «Бұл жерде біз бір бөлшекті екінші бөлшекке бөлу арқылы, бірінші бөлшекте екінші бөлшектің қанша рет бар екенін анықтаймыз.»

Ереже 4: Бөлшектерді бөлу үшін, бірінші бөлшекті екінші бөлшектің кері бөлшегіне көбейтеміз.

«Кері бөлшек деген не?» – деп сұрады Айгүл. Данагөй Ата: «Кері бөлшек дегеніміз – алымы мен бөлімінің орнын ауыстырған бөлшек. Мысалы, 2/3 бөлшегінің кері бөлшегі 3/2 болады», – деп түсіндірді. – «Енді, егер сенде алманың 1/2 бөлігі болса, және сен оны 1/4 бөліктерге бөлгің келсе, неше бөлік шығады?»
Таймас батыр тағы да ойланып: «Яғни, 1/2 : 1/4 = 1/2 * 4/1 = (1*4)/(2*1) = 4/2 = 2 болады ма?» – деді. Данагөй Ата қуанып: «Тамаша, Таймас! Дәл солай. Бұл дегеніміз, жарты алмада төрттен бір бөлік екі рет бар деген сөз.»

Ғылыми факт: Бөлшектерді бөлу – бұл бір санды тең бөліктерге бөлудің немесе бір санда басқа санның қанша рет бар екенін анықтаудың математикалық операциясы. Бұл көбейтудің кері амалы болып табылады.

«Міне, балаларым, бұл ережелер – Математика қазынасының екінші кілті. Олардың көмегімен сендер әлемдегі көптеген құпияларды аша аласыңдар», – деді Данагөй Ата. – «Есіңде болсын, математика – бұл тек сандар ғана емес, бұл әлемді түсінудің, оның заңдылықтарын ашудың әмбебап тілі!»
Айгүл мен Таймас Данагөй Атаның айтқандарын мұқият тыңдап, жаңа білімдерге толы болды. Олар енді бөлшектерді тек қосып, азайтып қана қоймай, оларды көбейтіп, бөле алатын болды. Бұл олардың Математика қазынасына деген қызығушылығын одан әрі арттырды. Олардың алдында әлі қаншама қызықты есептер мен жұмбақтар күтіп тұр еді!

Талқылау сұрақтары:

• Егер сенде пиццаның 3/4 бөлігі болса, және сен оны 1/2 бөлікке бөлгің келсе, неше бөлік шығады?


• Неліктен бөлшектерді бөлу кезінде кері бөлшекке көбейтеміз? Бұл амалдың мағынасы неде?